Rozmaitość topologiczna – Wikipedia, wolna encyklopedia

Warning: fopen(tmp/9dc497ac3f13ff07628c440cf4b34728) [function.fopen]: failed to open stream: No such file or directory in /home/uwhosting/wiki.e-artykuly.net/cache.php on line 24

Warning: fputs(): supplied argument is not a valid stream resource in /home/uwhosting/wiki.e-artykuly.net/cache.php on line 25

Warning: fclose(): supplied argument is not a valid stream resource in /home/uwhosting/wiki.e-artykuly.net/cache.php on line 25
Rozmaitość topologiczna – Wikipedia, wolna encyklopedia - wiki.e-artykuly.net

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Rozmaitość może oznaczać rozmaitość topologiczną lub, częściej, rozmaitość topologiczną z dodatkową strukturą. Rozmaitości różniczkowe są dla przykładu rozmaitościami topologicznymi wyposażonymi w strukturę różniczkową. Każda rozmaitość zawiera w sobie rozmaitość topologiczną uzyskiwaną po prostu przez zapomnienie dodatkowej struktury.

Uwaga: Artykuł ten przedstawia całościowo pojęcie rozmaitości skupiając się przy tym wyłącznie na topologicznych jej aspektach.

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Konwencje
- 1.2 Rozmaitość z brzegiem
2 Zwartość i aksjomaty przeliczalności
3 Proste operacje
4 Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe
5 Przykład
6 Rozmaitości n-wymiarowe
7 Sfera bez punktu
8 Częściowa jednorodność topologiczna Bⁿ
9 Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych
10 Suma spójna dwóch n-rozmaitości
11 Bordyzm
12 Przypisy
13 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita $n$ taka, że każdy punkt w $X$ ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$ ^[1].

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa. Definicję tę uzupełnia się często dodatkowymi wymaganiami: w szczególności wielu autorów określa je jako parazwarte lub spełniające drugi aksjomat przeliczalności. Powody i pewne warunki równoważne przestawiono niżej.

[edytuj] Konwencje

W dalszej części artykułu rozmaitość będzie oznaczać rozmaitość topologiczną. $n$ -wymiarowa rozmaitość lub krótko: $n$ -rozmaitość oznaczać będzie rozmaitość topologiczną, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $\mathbb R^n$ . Nietrywialne twierdzenie mówi, iż dla każdej rozmaitości spójnej $X$ istnieje jednoznacznie określona liczba całkowita $n$ taka, że $X$ jest $n$ -rozmaitością. Liczba ta nazywana jest wymiarem rozmaitości $X$ .

W poniższych rozważaniach pod nazwą rozmaitość rozumiana będzie przestrzeń topologiczna spełniająca drugi aksjomat przeliczalności (tj. mająca przeliczalną bazę).

Oznaczenie literowe rozmaitości z górnym indeksem, na przykład $M n$ oznaczać będzie $n$ -wymiarową rozmaitość.

[edytuj] Rozmaitość z brzegiem

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa, która w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z półprzestrzenią euklidesową (dla ustalonego $n$ )

$\mathbb R^n_+ := \{(x_1, \ldots, x_n)\colon x_1 \geqslant 0\}.$

Niech $M$ będzie $n$ -wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem $M$ nazywa się zbiór punktów $M$ mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym $\mathbb R^n$ i oznacza $\operatorname{int}\;M$ . Brzeg $M$ , oznaczany $\partial M$ , to dopełnienie wnętrza $M$ w $M$ . Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej ( $x n = 0$ ) półpłaszczyzny $\mathbb R^n_+$ w pewnym układzie współrzędnych.

Jeżeli $M$ jest rozmaitością z brzegiem wymiaru $n$ , to $\operatorname{int}\;M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n$ , a $\partial M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n - 1$ lub zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.

[edytuj] Zwartość i aksjomaty przeliczalności

Rozmaitości zwarte są parazwarte i spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Te, które są zwarte, oraz dodatkowo nie mają brzegu nazywa się zamkniętymi.

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

[edytuj] Proste operacje

Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny $n$ -rozmaitości jest $n$ -rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

Iloczyn kartezjański $m$ -rozmaitości $M m$ z $n$ -rozmaitością $N n$ jest $m + n$ -rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (jakby wzór Leibniza!):

$\partial(M^m \times N^n) = (\partial(M^n) \times N^n) \cup (M^n \times \partial(N^n))$

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu - podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjąński jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

[edytuj] Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to po prostu przeliczalne, skończone lub nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista $\mathbb{R}$ , a zwartą - okrąg $\mathbb{S}^1$ . Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.

[edytuj] Przykład

Zbiory $I = [0,1)$ oraz $H = [0,\infty)$ są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim $0$ ). Funkcje

$f\colon I \to H,\; f(x) = \tfrac{x}{1-x},$ ,

$g\colon H \to I,\; g(x) = \tfrac{x}{1+x},$

są ciągłe i rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to zarazem dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami^[2].

[edytuj] Rozmaitości n-wymiarowe

Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń $\mathbb{R}^n$ . Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:

$\mathbb{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leqslant 1\}$

oraz sfera:

$\mathbb{S}^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \colon \|x\| = 1\}$

Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy

$\mathbb{S}^n = \partial(\mathbb{B}^{n+1})$ .

Sfera jest rozmaitością bez brzegu.

Uwaga: Sfera 0-wymiarowa $\mathbb{S}^0$ jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.

$n$ -wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli $n$ -ta potęga kartezjańska okręgu:

$\mathbb{T}^n := (\mathbb{S}^1)^n$

Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest $n$ jest rozmaitością $n$ -wymiarową.

Zachodzą klasyczne twierdzenia:

Twierdzenie (Brouwer) Kula $\mathbb{B}^n$ ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego

$f\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$

istnieje $x \in \mathbb{B}^n$ takie, że $f (x) = x$ .

Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe

$r\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{S}^{n-1}$

takie, że $r (x) = x$ dla każdego $x \in \mathbb{S}^{n-1}$ .

Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.

Niech $a \in \mathbb{R}^n$ , gdzie $|a| \ne 0\,$ oraz $n \geqslant 1$ . Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniujmy:

$L_s := \{x \in \mathbb{R}^n : a\bullet x = s\}$

gdzie operacja $\bullet\,$ oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde $L_s\,$ jest homeomorficzne z $\mathbb{R}^{n-1}$ . Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe $\mathbb{R}^n$ . W szczególności $\,a \in L_{|a|^2}$ .

[edytuj] Sfera bez punktu

Niech $a \in \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ , więc $\,|a| = 1$ . Niech ponadto:

$L_1 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 1\}$

$L_0 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 0\}$

Pokażemy, że

Sfera bez punktu, $\mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , jest homeomorficzna z $\mathbb{R}^n$ .

na przykład z $\,L_0$ .

Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego $\pi : \mathbb{R}^{n+1}\backslash L_1\rightarrow L_0$ , danego wzorem:

$\pi(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$

Mianownik nie jest 0 dla $\,x\notin L_1$ . Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście $\,a\bullet\pi(x) = 0$ , czyli że $\,\pi(x) \in L_0$ .

Jeżeli $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , to:

$2\cdot (a\bullet x) = 2 - (a-x)^2 < 2$

skąd $\,a\bullet x < 1$ , więc $x\notin L_1$ . Możemy więc rozpatrywać obcięcie

$p := \pi | \mathbb{S}^n\backslash \{a\} :\ \mathbb{S}^n\backslash \{a\} \rightarrow L_0$

Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja $q : L_0 \rightarrow \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , dana wzorem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)$

(łatwo policzyć, że naprawdę $(q(y))^2 = 1\,$ czyli $q(y)\in\mathbb{S}^n$ ). Sprawdźmy, że $p\,$ i $q\,$ są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech $\,y := p(x)$ dla pewnego $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ . Wtedy ze wzoru na $p(x) := \pi(x)\,$ otrzymujemy:

$y - a = \frac{x-a}{1-a\bullet x}$

oraz

$(y - a)^2 = \frac{(x-a)^2}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2\cdot(1-a\bullet x)}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2}{1-a\bullet x}$

krótko:

$(y - a)^2 = \frac{2}{1-a\bullet x}$

Zatem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a) = a + (x-a) = x$

czyli $\,q(p(x)) = x$ , co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.

Niech z kolei $\,x := q(y)$ , gdzie $\,y \in L_0$ czyli $\,a\bullet y = 0$ . Wtedy

$a\bullet x = 1 - \frac{2}{(y-a)^2}$

Policzmy licznik i mianownik ułamka $p(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$ ; najpierw licznik:

$x - (a\bullet x)\cdot a =$

$\left(a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)\right) - \left(1 - \frac{2}{(y-a)^2}\right)\cdot a =$

$\frac{2\cdot y}{(y-a)^2}$

A teraz mianownik:

$1 - a\bullet x = \frac{2}{(y-a)^2}$

Zatem $\,p(x) = y$ , czyli $\,p(q(y))=y$ , co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.

Koniec dowodu.

Uwaga Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez $\,p_a$ oraz $\,q_a$ . Na przykład: $p_a(-a) = \mathbb{O}$ oraz $q_a(\mathbb{O}) = -a$ , gdzie $\mathbb{O} := (0,\dots,0)$ .

Twierdzenie Niech $f : X \rightarrow \mathbb{S}^n$ będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej $\,X$ . Jeżeli $\,f$ nie jest na, to $\,f$ jest homotopijnie trywialne.

Dowód Niech punkt sfery $\,a$ nie należy do obrazu funkcji $\,f$ . Homotopia łącząca $\,f$ z funkcją stałą (o wartości $\,-a$ , dana jest następująco:

$h(x,t) := q_a(t\cdot p_a(f(x)))$

dla $x \in X\,$ oraz $0 \leqslant t \leqslant 1$ .

Koniec dowodu.

[edytuj] Częściowa jednorodność topologiczna Bⁿ

Niech $f\colon [0,1)\to [0,\infty)$ będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:

$f(x)=\frac{x}{1-x},\; x\in [0,1)$

Wówczas odwzorowanie $F\colon \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n \to \mathbb{R}^n$ , dane wzorem

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$

jest również homeomorfizmem.

Homeomorfizm, odwrotny do $F$ : $G\colon \mathbb{R}^n\to \operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ można opisać przy pomocy wzoru:

$G(x)=\left\{\begin{array}{l}g(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$ ,

gdzie $g$ jest homeomorfizmem odwrotnym do $f$ (patrz wyżej).

Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną $\mathbb{B}^n$ :

Twierdzenie: Dla dowolnych $a,b\in\operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ istnieje homeomorfizm $h\colon\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^n$ kuli domkniętej na siebie, taki że $h (a) = b$ oraz $h (x) = x$ dla każdego $x\in\partial(\mathbb{B}^n)$ .

Dowód: Homeomorfizm $h$ definiuje się wzorem:

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}x,\; x\in \partial(\mathbb{B}^n)\\G(F(x) + F(b) - F(a)),\; x\in \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n\end{array}\right.$

Koniec dowodu.

Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla $n = 0$ . Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^0$ jest pusty.

Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej $\mathbb{R}^n$ na przestrzeń $\mathbb{B}^n$ :

$H\colon\mathbb{B}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$ ,

które jest tożsamością na $\partial(\mathbb{B}^n)$ oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$ . $H$ dane jest wzorem:

$H(x,v)) := G(F(x) + v) ,\; x\in\mathbb{R}^n,\,v \in\mathbb{R}^n$ .

Wtedy $H (x,0) = x$ , oraz

$\begin{array}{lcl}H((H(x,v),w) & = & G(F(H(x,v)) + w)\\ & = & G(F(G(F(x) + v)) + w) \\ & = & G((F(x) + v) + w) \\ & = & G(F(x) + (v + w)) \\ & = & H(x, v+w)\end{array}$ ,

co pokazuje, że $H$ jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność $H$ we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych $a,b\in\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$ istnieje dokładnie jedno $v\in \mathbb{R}^n$ , dla którego $\;b = H(a,v)$ , mianowicie $v \;:= F(b) - F(a)$ .

[edytuj] Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych

Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa $X$ dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny $p$ ; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń $X\setminus\{p\}$ nie jest spójna.

Niech $a\,$ będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej $\,M^n$ . Niech $X\,$ będzie zbiorem wszystkich punktów $x\,$ dla których istnieje zbiór otwarty $\,G$ , homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$ , który zawiera oba punkty $a\,$ i $\,x$ Pokażemy poniżej, że $\,X=M^n$ .

Jest oczywistym, że zbiór $X\,$ jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:

Niech $c\,$ należy do domknięcia zbioru $\,X$ .

Istnieje homeomorfizm $t\,$ przestrzeni $\mathbb{R}^n$ na pewne otoczenie punktu $c\,$ w rozmaitości $\,M^n$ , spełniający warunki

$t(0)=c\,$
$a\notin t(\mathbb{R}^n)$ .

Niech $B$ będzie obrazem $B=t(\mathbb{B}^n)$ . Istnieje punkt $b$ , należący do wnętrza zbioru $B$ (a więc do obrazu wnętrza $t(\mathbb{B}^n)$ ), który należy do $X$ (jako, że $c$ należy do domknięcia $X$ ). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm $h\colon B\to B$ taki, że

$h(b)=c\,$
$h(x)=x\,$ dla każdego $x\in t(\partial(\mathbb{B}^n))$

(Oczywiście $t(\partial(\mathbb{B}^n))$ jest brzegiem topologicznym zbioru $B$ ). Zatem odwzorowanie $H\colon M^n\to M^n$ dane wzorami:

$\,H(x)=h(x)$ dla $x\in B$ ,
$\,H(x)=x$ dla $x\in M^n \setminus t(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$

jest homeomorfizmem.

Ponieważ $a\,$ nie należy do $\,B$ , więc $\,H(a)=a$ . Zatem $H(B)\,$ zawiera, zarówno punkt $\,a$ , jak i punkt $\,c=H(b)$ . Pokazaliśmy więc, że $c\,$ należy do $X\,$ ; czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru $\,X$ . Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to $\,X=M^n$ .

Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:

Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$ , zawierający te dwa punkty;
Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).

Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:

Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z $\mathbb{B}^n$ , zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.

Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności $\mathbb{B}^n$ na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.

[edytuj] Suma spójna dwóch n-rozmaitości

Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).

Nieco formalniej: Niech odwzorowania $f\colon \mathbb{R}^n\to M^n$ oraz $g\colon \mathbb{R}^n \to N^n$ będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie $M n$ oraz $N n$ są n-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni $M^n \setminus f(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ oraz $N^n \setminus g(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ zidentyfikujmy pary punktów $f (x)$ oraz $g (x)$ dla każdego $x \in \partial(\mathbb{B}^n)$ . Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, i jest oznaczana

$M^n \# N^n$ .

Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji $f$ i $g$ powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych - ściślej mówiąc - suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.

Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera $\mathbb{S}^n$ :

$M^n \# \, \mathbb{S}^n = M^n$ .

Ponadto, suma spójna jest przemienna i łączna.

Twierdzenie: Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów $\mathbb{T}^2$ (w szczególności sfera $\mathbb{S}^2$ jest sumą spójną zero torusów).

[edytuj] Bordyzm

Mówimy, że rozmaitość zwarta $M$ ogranicza, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem $W$ taka, że $\partial W$ jest dyfeomorficzny z $M$ . Rozmaitości zwarte $M, N$ nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem $W$ , której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną $M\coprod N$ . Bordyzm jest relacją równoważności. W zbiorze klas dyfeomorfizmu rozmaitości zwartych, rozważając relację bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem - pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.

Przypisy

↑ Definicję tę można rozszerzyć o przypadek $\scriptstyle{n=-1}$ . Wtedy jeżeli przyjąć $\scriptstyle{\mathbb R^{-1} = \varnothing}$ , to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty. Za: Witold Hurewicz, Henry Wallman: Dimension Theory. Princeton University Press, 1996. ISBN 978-0691079479.
↑ Przekształcenia te są gładkie, t.zn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej - funkcje f g są analityczne.